Fourier en tiempo discreto
Periodicidad de las funciones exponenciales imaginarias en tiempo discreto y en la frecuencia
El objetivo es entender cuándo una señal discreta es periódica, porque en el análisis de Fourier discreto (DFT/FFT), trabajamos con señales que se asumen periódicas. Si no se cumple la condición, el análisis falla o da resultados raros.| Concepto | Tiempo continuo | Tiempo discreto |
|---|---|---|
| Velocidad angular | \[ \omega_0 \] | \[ \Omega_0 \] |
| Periodo fundamental | \[ T_0 = \frac{2 \pi}{\omega_0} \] | \[ N = \frac{2 \pi}{\Omega_0} \] |
| Frecuencias \[ \frac{1}{s} \rightarrow Hz \] | Analógica \[ F_o = \frac{1}{T_0} \] \(F_0\) Es única para toda la señal. |
Digital
\[
f_0 = \frac{1}{N}
\]
o
\[
f_0 =
\frac{1}{\frac{\Omega_0}{2 \pi}}
=
\frac{2 \pi}{\Omega_0}
\]
\(- \frac{1}{2} < f_0 \leq \frac{1}{2}\) |
| Exponencial Compleja Imaginaria Pura (3ra señal básica) | \[ e^{i\omega_0 t} \] | \[ e^{i\Omega_0 n} \] |
| Formulas varias |
\[
\Omega_0 = 2 \pi f_0
\]
Dado que \(\Omega_0 = \frac{2 \pi}{N}\), entonces:
\[
\frac{2 \pi}{N} = 2 \pi f_0
\]
\[
\frac{1}{N} = f_0
\]
Si \(N = \frac{2 \pi}{\Omega_0}\), entonces: \[ f_0 = \frac{1}{\frac{2 \pi}{\Omega_0}} = \frac{\Omega_0}{2 \pi} \] |
Resources
*utn frc AN Discreto2 Muestreo*Periodicidad en el tiempo
Una señal es periódica si se repite cada \(N\) muestras. En esta demostración buscamos establecer cuándo la exponencial compleja cumple eso. \[ x[n] = x[n + N] \] Si reemplazamos \(x[n]\) por la exponencial compleja imaginaria pura: \[ e^{i\Omega_0 n} = e^{i\Omega_0 (n + N)} \] \[ e^{i\Omega_0 n} = e^{i\Omega_0 n} e^{i\Omega_0 N} \] Para que la igualdad se respete debe cumplirse que: \[ e^{i\Omega_0 N} = 1 \] Para eso, utilizamos la relación de Euler \[ e^{i\Omega_0 N} = \cos(\Omega_0 N) + i \sin(\Omega_0 N) \] Para que \(e^{i\Omega_0 N} = 1\) debe cumplirse que: \[ \cos(\Omega_0 N) = 1 \] \[ \sin(\Omega_0 N) = 0 \] Eso ocurre cada \(2\pi\) o un múltiplo \(m\) de \(2\pi\), por lo tanto: \[ \Omega_0 N = 2 \pi m \] Cuando \(m = 1\) se obtiene el periodo fundamental \(N\).Si reemplazamos \(\Omega_0 N\) por \(2\pi f_0\), entonces: \[ 2\pi f_0 N = 2 \pi m \] \[ f_0 = \frac{m}{N} \] Si \(m = 1\), nos queda: \[ f_0 = \frac{1}{N} \] La condición para que una señal sea periódica en el tiempo es que la frecuencia sea una relación entre enteros.
Periodicidad en la frecuencia
En señales discretas, el espectro de frecuencias se repite cada \(2\pi\). Esto significa que dos frecuencias que difieran en \(2\pi\) producen exactamente la misma señal discreta.Para entender por qué, recordemos la fórmula de Euler: \[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \] Cuando \(\theta = 2\pi\), se cumple que \(\cos(2\pi) = 1\) y \(\sin(2\pi) = 0\), por lo tanto: \[ e^{i2\pi} = 1 \] Y si \(n\) es un número entero (como lo es el índice de una señal discreta), entonces \(2\pi n\) es siempre un múltiplo exacto de \(2\pi\), por lo que también vale: \[ e^{i2\pi n} = 1 \quad \text{para todo } n \in \mathbb{Z} \] Con esto podemos demostrar que sumarle \(2\pi\) a la frecuencia no cambia nada en la señal: \[ e^{i(\Omega_0 + 2\pi)n} = e^{i\Omega_0 n} \cdot e^{i2\pi n} = e^{i\Omega_0 n} \cdot 1 = e^{i\Omega_0 n} \] Por lo tanto, la frecuencia \(\Omega_0\) y la frecuencia \(\Omega_0 + 2\pi\) representan la misma señal discreta. El espectro no aporta información nueva fuera del intervalo \([0, 2\pi)\).
Todas las exponenciales cuyas frecuencias están
separadas por múltiplos de \(2\pi\) son idénticas.
\[
x_k[n] = e^{i(\Omega_0 + 2\pi k)n}
\]
\[
k=0, 1, 2, 3, ...
\]
Dentro del intervalo \([0, 2\pi)\), las funciones exponenciales son diferentes
porque el periodo no llega a ser \(2\pi\), \(\text{ diferencia } \neq 2 \pi\),
entonces, nunca se cumple \(e^{i \text{ diferencia } n} = 1\).
Las funciones exponenciales son diferentes para \[ \color{orange} 0 \leq \Omega_0 < 2\pi \] Pero también podemos trabajar con las funciones que son simétricas al eje cero. \[ \color{purple} -\pi < \Omega_0 \leq \pi \] En este caso, las funciones exponenciales son simétricas porque también son periódicas cada \(2\pi\) por más que estén desplazadas \(-\pi\).
